怎么记住斯托克斯公式(stokes' theorem)?

2015/3/29 22:24:18

Stokes定理是把一维的积分和一个二维的积分联系起来:前者的空间是后者的边界,而后者所积的是前者的(某种)导数。这与Green定理、Gauss定理是同样的,甚至微积分基本定理也可以看成是这种形式。Stokes定理在1920年代后有了新的解释和推广,用的是Elie Cartan的"微分行式"和"外微分"。微分形式即积分符号后面的一串式子,如P dx + Q dy + R dz (虽然实际应用很少用这个形式,但不难看出其为物理中常见的 F•dr)
它的外微分这么来算:Cartan的这个神奇的符号d作用于每一项,再加起来。作用于第一项,
d(P dx) = ∂P/∂x dx∧dx + ∂P/∂y dy∧dx + ∂P/∂z dz∧dx
其中dx∧dx=0,(更一般地,dx∧dy=-dy∧dx,即∧符号是antisymmetric),这是外微分的第一个重要性质。

怎么记住斯托克斯公式(stokes theorem)?

这也好理解,dx∧dy表示无穷小的面积,而dy∧dx是负的面积。第二个重要性质是,d(dx)=0,所以上面的计算省略了d作用于dx的步骤。
动笔一算,就得出
d(P dx + Q dy + R dz) = (∂R/∂y-∂Q/∂z) dy∧dz + (∂P/∂z-∂R/∂x) dz∧dx + (∂Q/∂x-∂P/∂y) dx∧dy
这个就跟curl F是一个形式了。
微分形式的用处非常广,已然成为现代数学的基本概念之一。以上作为初步介绍,需要补充几点。
微分形式不局限于直角坐标,任意坐标系都可以。而且一个微分形式不取决于它在某个坐标系下的具体表达式。另外,微分形式可以在任一(光滑)流形上,不必在平直的空间,甚至不需要度量(metric)。这种情况下往往不能由一个坐标系来表示,其用处也随之倍增。
以上介绍的几个性质,当然需要严格的考量,确保没有矛盾。实际上数学书上给出微分形式和外微分的定义颇为繁复,把这么漂亮的概念搞得让人望而却步。

怎么记住斯托克斯公式(stokes theorem)?