最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

2015/12/8 6:31:33

? 复习 第九讲

? ? ? ? ? ? ? 主要内容: 3.2 公约数和公倍数 3.2.1 最大公约数 3.2.2 最小公倍数 3.3 数的分解 3.3.1 质数与合数 3.3.2 分解质因数

第三章 整数的性质(2)

? 第九讲

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

第三章 整数的性质(2)

? 3.2 公约数和公

倍数 ? 本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质, 主要包括约数、倍数及其相关概念和性质. ? 3.2.1 最大公约数及其性质 ? 1.最大公约数的概念 ? (1)公约数:几个自然数的公有约数,叫做这几个数的公 约数. ? 由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集. ? (2)最大公约数:几个自然数公约数集合{a1, a2,..., an } 中最大的一个叫做这几个自然数的最大公约数.记作(a1, a2,..., an ). ? 例如(16,24)=8;(35,49)=7.(9,15)=3

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

? 互质数:如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数是互质数. ? 即对于两个自然数m,n,如果(m,n)=1,那么m与n互质.(7,2)=1 ? 例如∵ (2,3)=1, ∴2与3互质,或者说2与3是互质数; ? ∵ (1,2)=1, ∴1与2互质; ? ∵ (11,18)=1, ∴11与18互质.

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

? 3.2.2 最小公倍数 ? 1.最小公倍数的概念 ? (1)公倍数:几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公 倍数. ? 由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集. ? (2)最小公倍数:几个自然数公倍数集合{a1, a2,..., an } 中,除0以外最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小 公倍数.记作[a1, a2,..., an ].(数学上常用方括号表示). ? 例如[36,24]=72;[4,8,14]=56. ? 再如[12,18,20]=180,即12、18和20的最小公倍数.

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

? 3.3 数的分解 ? 数的分解是建立在因数基础上的. ? 3.3.1 质数与合数 ? 质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产 生的.他们的产生,导致了自然数的一个分类:自然数包括质数、合 数和1. ? 定义 除了1和本身,再没有其他因数的数称为质数,也成为素数. ? 例如 2, 3, 5, 11,13等. ? 定义 除了1和本身,还有其他因数的数称为合数. ? 例如 4, 6,121,等 ? 由定义知 1既不是质数,也不是合数.

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

? 3.3.2 分解质因数 ? 1.分解质因数的概念 ? (1)质因数的定义:如果一个数既是数a的质数又是a的 因数,则称这个数是数a的质因数. ? (2)分解质因数的概念:把一个数表示成质因数乘积的 形式,叫做分解质因数. ? 例如 54=2×33;35=5×7; 720=24×33×5. ? 特别地,把一个质数分解质因数就是用这个质数表示. ? 例如 7=7

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

?

? (3)质数的判别方法 ? 方法1 查表法; 把1000以内的质数列出表,需要时查表即可.

? 方法2 试除法 ? 如果没有质数表,可以用试除法给出.即用质数去试除,能用数的 整除性特征判断直接用数的整除性特征判断. ? 例 判断197是不是质数. ? 解:可以用2、3、5、7、11...等质数去试除(能用数的整除特征直 接判断的就不必试除). ? 用数的整除特征直接可以判断197不能被2、3、5、7、11、13... 整除; ? 由于13下一个质数是17,而197÷17=11(余10),所以197也不 能被17整除. ? 由于用17去除所得的商比17小,所以就可以断定197不能被比17 大的整数整除. ? 这是因为如果有比17大的质数整除197,那么所得到的比17小的

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

商也能整除197(第八讲定理4),可是这已经经过试除和判断,证明 是不可能的.

? 因此不必再继续试除,就可以断定197是质数. ? 思考与训练 ? 判断139是不是质数.

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

? 2.分解质因数的标准分解式

如果N 是大于1的整数,pi (i = 1, 2,..., n )是质数,并且p1 < p2 < ...pn , ai (i = 1, 2,..., n ) 那么N = p1 1 p2 2 ...pn n . 720 = 2 创2 2 创2 3 创3 5 = 24 创32 5. 720的质因数有四个2,二个3和一个5.

a a a

N

? 定理4 任何一个大于1的整数都可以分解质因数. ? 例如 35=5×7;27=32 ; ? 108=22×32 =32×22 =3×3×2×2 ,但是108=22×32 是标准分解式. ? 定理5 一个大于1的整数,如果不论质因数的次序,那么分解质因数的 结果是唯一的. ? (这个定理叫做算数基本定理)

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

?

? 下面说法中正确的是(

A

)

A.在a÷b=q...r中,若d|a,d|b,则d|r. B.在a÷b=q...r中,若d|b,d|r,则d|q. C.在a÷b=q...r中,若d|a,d|r,则d|q. D.在a÷b=q...r中,若d|a,d|b,则d|q.

? 第十讲

? ? ? ?

第三章 整数的性质(3)

主要内容: 3.4 最大公约数和最小公倍数的求法 3.3.1 最大公约数的求法 3.3.2 最小公倍数的求法 3.5 最大公约数和最小公倍数的应用

最大公约数和最小公倍数的求法和应用1

?

? 教学目标: ? 1.加深对公约数、公倍数的相关概念及其性质的理解; ? 2.理解求最大公约数和最小公倍数的算理; ? 3.理解用最大公约数和最小公倍数解应用题的算理.

? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

3.4 最大公约数和最小公倍数的求法 3.3.1 最大公约数的求法 1.用分解质因数的方法求最大公约数 定理1一个大于一的整数b整除另一个自然数a的充要条件 是:b的每一个质因数都是a的质因数;并且b里任何一个相 同的质因数的个数,都不超过a里该质因数的个数. 例如 a=12600=23×32×52×7 b=60=22×3×5 这里b是符合能整除a的充要条件的,且a÷b的商q是 q=(23×32×52×7)÷(22×3×5) =[22×3×5×(2×3×5×7)]÷(22×3×5) = 2×3×5× 7

? 这个定理给出了求几个数最大公约数的方法: ? 把几个数分别分解质因数,再把几个数共有的一切质因数连乘起 来,即可得到最大公约数. ? 例1 求28和42的最大公约数. ? 分析:法1 先分解质因数,然后把所有的公因数乘起来. ? 法2 先用短除形式分解质因数,直到两个商是互质数为止,然 后把所有的除数乘起来. ? 解: 法1∵28=22×7 ;42=2×3×7. . ? ∴(28 , 42)=2×7=14. ? 法2

2 28 42 7 14 21 2 3

? ? ? ? ? ?

例2 求2700、7560、3960的最大公约数. 解:法1∵2700=22×33×52 ; 7560=23×33×5×7 ; 3960=23×32×5×11. ∴(2700, 7560, 3960 )=22×32×5=180. 法2 利用短除法分析:先用短除形式分解质因数,直到两个商是互质 数为止,然后把所有的除数乘起来.

2 2700 2 1350 3 675 3 225 5 75 15

7560 3780 1890 630 210 42

3960 1980 990 330 110 22

? 例1 求2700、7560、3960的最大公约数. ? 分析:此题还可以在看出有较大公约数时先用这个公约数去除. ? 解:(2700 7560 3960 )=10×9×2=22×32×5=180

10 2700 7560 9 270 756 2 30 84 15 42

3960 396 44 22

? 定理2 如果第一个数能被第二个数整除,那么这两个数的最大公约数 就是第二个数. ? 如果 b∣a,那么(a,b)=b. ? 例如 (3,21)=3;(11,121)=11;(15,75)=15.

? 3.3.2 最小公倍数的求法 ? 1.用分解质因数法求最小公倍数 ? 因为几个数的任何一个公倍数都能被这几个数整除, 所以根据定理1,在这几个公倍数里应该含有每一个数里 所有的质因数,并且每一个质因数的个数不能少于原来几 个数里所含该质因数的最多个数. ? 例1 求96,30和132的最小公倍数 ? 解: 96=25×3 ;

? ?

30=2×3×5; 132=22×3×11;

? 在96,30和132的任何一个不为0的公倍数里,至少含有五 个质因数2,一个质因数3,一个质因数5,一个质因数11. ? ∴[96,30,132]=25×3×5×11=5280. ? 思考与训练:求48,15和66的最小公倍数.

? 例2 求28和42的最小公倍数. ? 分析:先用短除形式分解质因数,直到两个商是互质数为止,然后把 所有的除数和商乘起来. ? 解:[28,42]=2×7×2×3=84

?

2 28 42 7 14 21 2 3

? 例3 求2700、7560、3960的最小公倍数. ? 解:[2700 7560 3960 ]=10×9×2×2×2×3×5×7×11 ? =24×33×5×7×11=55440

10 2700 7560 9 270 756 2 30 84 2 15 42 2 15 21 35 7 3960 396 44 22 11 11

? ? ? ? ? ? ? ?

2.利用最大公约数求最小公倍数 根据最小公倍数性质2,[a,b] ·(a,b)=a·b,可得 [a,b]=a·b ÷ (a,b). 如例1 求28和42的最小公倍数. [28,42]=28×42 ÷ 14=84. 例4 求[105,42] 解:∵(105,42)=21 ∴ [105,42]=105×42÷21=210.

? ? ? ? ? ?

特殊情况下,如果a是b的倍数,那么a,b的最小公倍数就等于a. 即 如果b∣a. 因为(a,b)=b,所以[a,b]=ab÷(a,b)=a. 例5 求[51,17]. 解:∵17∣51 ∴ [51,17]=51.

? 小结:

? 求两个数的最大公约数与求两个数的最小公倍数的相同点和不同点. ? 两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的,它必须包含两 个数全部公有的质因数.所有除数正好是两个数全部公有的质因数, 所以,求最大公约数就要把所有除数乘起来. ? 而求最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数,又要包含 各自独有的质因数.两个数的商分别是它们独有的质因数.所以求两 个数的最小公倍数要把所有的除数和商乘起来. ?

? 思考与训练 ? 1.用分解质因数的方法,求下列各组数的最大公 约数. ? (1)64,72;(2)112,124,420. ? 2.用分解质因数的方法,求下列各组数的最小公 倍数. ? (1)48,64;(2)36,40,44. ? 3.用最大公约数求最小公倍数 ? (1)185,338;(2)46,240.

? 3.5 最大公约数和最小公倍数的应用 ? 例1 某班学生自制教具,把长144厘米、宽48厘米、厚32厘米的长方 体木料,锯成尽可能大的同样大小的正方体木块,求这样的正方体木 块的棱长和块数(锯完之后原木料没有剩余). ? 分析:由题意可知,所求正方体棱长应该能整除144,48,32,所以它 应该是木料的长、宽、高的公约数.由于要锯成的同样大小的正方体 要尽可能大,故所求正方体的棱长就应是木料长、宽、厚的最大公约 数. ? 求得木料的长、宽、厚各锯成的份数厚,就可以求出锯成的块数. ? 解:正方体木块的每条棱长是(144,48,32)=16(厘米). ? 木料的长所锯成的份数是 144÷16=9, ? 木料的宽所锯成的份数是 48÷16=3, ? 木料的厚所锯成的份数是 32÷16=2, ? 锯成正方体的块数是9×3×2=54(块). ? 答:正方体木块的棱长是16厘米,可以锯成54块.

? 例2 一对啮合齿轮,一个有21个齿,另一个有30个齿,其中某一对指 定的齿,从第一次相遇到第二次相遇,每个齿轮要转多少周? ? 分析:因为大小齿轮上该对指定的齿从第一次接触到下次接触,两齿 轮转过的齿数相同,所以转过的相同齿数的倍数,也就是两轮齿数的 最小公倍数.求出两个齿轮各转过的齿数后,就可以求出两个齿轮各 转多少周. ? 解:两个齿轮的某一对指定的齿从第一次接触到下次接触,两齿轮转 过的齿数是[21,30]=210(齿). ? 小齿轮转的周数是 210÷21=10(周), 大齿轮转的周数是 210÷30=7(周), 答:小齿轮、大齿轮分别转10周和7周.

? 例3 某班学生人数在40与50之间,如果每8人分成一个小组,那么最 后一个小组只有5人;如果每12人分成一个小组,那么有一个小组少3 人,求这班学生人数. ? 分析:如果学生增加3人,那么每8人一个小组和每12人一个小组 都恰好分完,因此学生人数加上3以后(新的人数在43与53之间), 应该既是8的倍数又是12的倍数. ? 先求出8和12的最小公倍数,再求出在43与53之间8和12的公倍数, 然后可以求出学生数. ? 解:[8,12]=24, ? 在43与53之间8和12的公倍数是: ? 24×2=48, ? 48-3=45(人). ? 答:学生是45人.

? 例4 公路上一排电线杆,共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米, 现在要改成60米,可以有几根不需要移动? ? 分析:不需要移动的电线杆,一定既是45的倍数又是60的倍数。 要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长,再求可以有几根不需 要移动. ? 解:(1)从第一根起至少相隔多少米,一根电线杆不需移动? ? [45、60]=180 ? (2)全路长多少米? ? 45×(25-1)=1080(米) ? (3)可以有几根不需要移动? ? 1080÷180 1=7(根) ? 答:可以有7根不需要移动

? 例5 一个数除193余4,除1089余9。这个数最大是多少? ? 分析:这个数除(193-4),没有余数,这个数除(1089-9)没有余 数。这个数一定是(193-4)和(1089-9)的公约数。要求这个数最 大,那么一定是这两个数的最大公约数。 ? 解 193-4=189, 1089-9=1080, ? (189,1080)=27. ? 答:这个数最大是27. ? 思考与训练1.一个数除以36和48都余5,求这个数(要最小的一个). ? 分析:这个数与5的和能被36整除,也能被48整除。这个数与5的和一 定是36和48的公倍数。依题意这个数一定是这两个数的最小公倍数与 5的和。 ? 解:由于[36,48]=144,故所求的数为144 5=149

? 思考与训练 ? 1.一个数除以36和48都余5,求这个数(要最小的一个). ? 2.某班学生不到50人,每12人站一行或者每16人站一行都正好是整行, 这班学生有多少人?. ? 3.a,b两个数的最大公约数是15,最小公倍数是180,求ab. ? 4.已知两个数的积是5766,它们的最大公约数是31,求这两个数. ? 5.有三根铁丝,一根长18米,一根长24米,一根长30米。现在要把它 们截成同样长的段每段最长可以有几米?一共可以截成多少段? ? 6.用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花 的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,最多可以做多少个花束?每个 花束里至少要有几朵花? ? 7.公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车 一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。 三路汽车在同一时间发车以后,最少过多少分钟再同时发车?

制 作 人:

制作时间:

2003.4.9

一、复习

1· 什么叫约数?怎样求一个数的约数? 整数a除以整数b(b≠0)除得的商是整数且没有余数,我 们就说a叫做b的倍数, b就是 a约数。

2· 求出下面各个数的约数

8 12 18 30

8的约数:1 2 4 8

12的约数:1 2 3 4 6 12

18的约数:1 2 3 6 9 18

30的约数:1 2 3 5 6 10 15 30

8的约数:1 2 4 8

12的约数:1 2 3 4 6 12

1、2、 4既是8的约数,

又是12的约数

像这样既是8的约数又是12的约数的数,我们 把它叫做8和12的公约数。

8的约数

8 1 2 4 1 2

12的约数

4 3 6 12

8的约数 12的约数

8 1 1 2 2 4 4 3 6 12

几个数公有的约 数,叫做这几个 数的公约数

8和12的公约数 请找出一个 最大的

最大公约数

请同学们找出30和45的公约数,想一想,怎样找?

30的约数

2 6 10 30

45的约数

1 1 3 3 5 5 15 15 9 45

30和45的公约数

观察一下,30和45的最大公约数是多少。

2、求出5和7的公约数和最大公约数,再找出7和9的公 约数和最大公约数。

公约数只有1的两个数,叫做互质数

谁能举出其它的互质数?

如:5和7 7和9

7和15 8和9 是互质数。

2和3

11和6都

1、两个不同的质数。

两个互质数的特点 2、两个相邻的自然数。 3、一个质数和一个合数, 合数不是质数的倍数

例2

2 3

:求18和30的最大公约数。

18 9 3 2 3 30 15 5

18= 2 × 3 × 3 30= 2 × 3 × 5 18和30的最大公约数是2 ×3 =6

1、这节课大家学到了什么? 2、什么叫公约数、最大公约数、互质数? 怎样求两个数的最大公约数? 3、你还知道些什么?