初等几何和高等几何 关于高等几何中维数概念初探

2017/3/24 14:05:21

摘要:高等几何是本科数学师范生的重要基础课之一,这门课程中出现了大量与维数相关的概念。在教学中发现

由于高等几何中齐次性的存在,使得射影平面中的维数与欧氏几何中维数的表现形式有所不同,给初学者带来困

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惑。 关键词:高等几何;射影坐标;维数 1  引言 高等几何是高等师范院校数学与应用数学本科专业的基础课程之一,它的主要内容包括射影平面,射影坐标、射

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影变换和二次曲线的射影性质。学习该课程的学生通常已具备相应的初等几何、解析几何、高等代数等课程的基

础知识。 维数概念是高等代数中线性空间理论的基础性概念,解析几何课程中研究的3维空间可以认为是欧氏空间的具体

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模型。高等几何也研究几何空间,并出现了大量关于维数的概念,在高等几何的教学实践中发现有不少同学对这

方面概念学习起来有一定的困惑。 2  齐次点坐标 由于影消点和影消线存在,使得中心射影不是一个双射,为了解决这个问题高等几何创造性地引进了无穷远元素

。 射影直线上由于无穷远点的存在,已不能与实数集建立双射。为了和非无穷远点一样可以度量、计算无穷远点,

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引入了一维齐次点坐标。 定义1[1]  设欧氏直线上普通点 之坐标为 则由适合 的两个数 组成的有序数组 (其中 )叫做点 的齐次坐标

,记作  称为 的非齐次坐标。当 时,即 (其中 )或 规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标。 齐次坐标的引入具有重要的意义,借助这种能表示无穷远元素的新坐标可以很方便地利用代数方法研究透视对应

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。 欧氏几何中直线上的点可以用1个实数表示,这样直线上的点与实数集 之间建立了一个双射,由高等代数的线性

空间理论很容易知道直线是1维向量空间,任意一个非零实数都可以作为该空间的一组基。 射影直线上的点在齐次坐标中是用两元有序数组来表示的,但这2个数是有密切联系的。在讲解齐次坐标概念时

要特别当心,防止学生直观上认为射影直线是二维的。 平面上引入无穷远元素后,从几何上讲解决了中心投影无法构成双射的问题,但也因此破坏了原有的代数系统,

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这就使得二维齐次点坐标的建立非常必要。在具体教学过程中,不仅要讲清楚定义、概念,更应强调解决问题的

方法中蕴含的数学思想。有了一维齐次点坐标的概念,二维齐次点坐标定义的介绍不应再是重点,应更关注利用

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代数法对两平行直线交点——无穷远点的处理上。 由解析几何知识知,两条互异平行直线 其中 的交点可表示为 ,在此基础上很容易引入二维齐次坐标 定义2[1]  笛卡儿坐标为 的点的二维齐次坐标 是指由任意适合 的三个数 组成的有序三数组 其中  称为这点

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的非齐次坐标。 这样的定义推导过程使学生比较容易接受虽然二维齐次点坐标形式上是三维有序数组,但本质上射影平面仍是二

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维的。 准确理解射影直线和射影平面中的维数及其表现形式与欧氏几何中的区别,对于解题有很大帮助。比如以相异两

点 为基点的点列的齐次参数表示是双参数表示,即以相异两点 连线为底的点列中,点的齐次坐标能且仅能表示

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为 ( 不全为零). 3  射影坐标系 解析几何中一维直线和二维平面通常采用笛卡儿坐标系 和 ,其中 为坐标原点, 分别为 轴, 轴上的基本单位

向量。由高等代数中线性空间理论可知平面是一个2维向量空间, 即为该空间的一组标准正交基。射影几何中坐

标系的建立也很有必要。 定义3[1]  在射影直线上若取定三个不同点 则建立了该直线上的一个射影坐标系,用 表示其中 叫原点, 叫单

位点. 直线上任一点 在坐标系 下的非齐次射影坐标为交比 定义4[1]  三点形 和点 确定一个二维射影坐标系 这四个点叫基点, 叫坐标三点形, 叫原点, 叫单位点。 坐标三点形中 的三顶点坐标分别为 单位点 的坐标为 平面上任一点 可表示为   这与高等代数欧氏空间中用3维标正基表示其余向量是一致的。 对比笛卡儿坐标系和射影坐标系很容易发现两者的区别,教学中发现有不少同学对射影坐标系中单位点的存在不