矩阵位移法教学 结构力学[第八章矩阵位移法]课程复习

2017/4/8 10:22:41

第八章 矩阵位移法 一、基本内容及学习要求 本章内容包括:矩阵位移法的解题思路,单元刚度矩阵及其坐标变换,直接 刚度法(先处理),等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。要求会用矩阵位 移法计算结构的位移和内力。 通过本章的学习应达到: (1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤,了解矩阵位移法与位移法的内在联 系。 (2)建立单元坐标系下的

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单元刚度矩阵,明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元 素的物理概念。 (3)弄清坐标变换的含义,形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。 (4)借助定位向量,熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。 (5)计算综合结点荷载。

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(6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。 二、学习指导 (一)矩阵位移法的解题思路与步骤 矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同, 两者的差异仅在于前者从机算考 虑,采用矩阵使公式规格化,以适应程序设计的要求,故解题步骤和处理方法都 有所不同。

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为使读者抓住学习要领,现用简例扼要说明两者间的关系。 图 8.1 所示三跨连续梁承受结点集中力 偶作用。用位移法求解时若将其转化为三根两 端固定梁,按以下步骤直接建立位移法方程。

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(1)把三根梁作为三个单元,利用转角位 移方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数 矩阵位移法和位移法两者比较,求解过程基本相同,关键不同之处在于矩 阵位移法利用了 K 的组合特性,解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。

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下 面对此作简要说明,使读者有大致的了解。 位移法通过单元刚度方程,利用平衡条件建立位移法方程,其系数由各单 元刚度方程的系数组合而成。

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矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成 结构刚度矩阵, 只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位 置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入), 再将同一位置的元素相加 即可,故又称直接刚度法。

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这一过程归纳为“对号入座、同位相加” ,本题按此 即得 读者把 K 的建立过程与式(g)对照,不难发现二者的共同之处,其差别仅在 于位移法的处理较为直观,矩阵位移法更加直接却稍嫌繁琐,以分别适应手算和 机算的要求。

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读者了解这些特点,会使学习思路更加清晰。 (二)单元刚度矩阵 应用矩阵位移法必须首先进行单元分析,建立单元杆端力与杆端位移间的 关系(单元刚度方程), 其目的是找到单元杆端力与杆端位移间的转换矩阵——单 元刚度矩阵(以下简称“单刚”)。

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单刚的形式和元素与所取坐标系关系密切,矩 阵位移法将分别用到以两种坐标系(单元坐标系和结构坐标系)表示的单刚, 教材 §9—2、§9—4 分别对其物理意义及建立方法作了详细论述,下面重点说明几 个问题。

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1.单元坐标系下的单刚 (3)单刚的两个重要性质分别是:主对角线两侧对称位置上的元素相等(可 由力的互等定理推出),单刚是对称方阵;与单刚相应的行列式

KC

=0,说明 单刚是不存在逆矩阵的奇异矩阵,即可用式(9—3)由杆端位移求杆端力,但不能 用它从杆端力反求杆端位移。 (4)不同类型的单元有形式不同的单刚。 教材式(9—5)所示单刚对应两端刚 结且三个方向均可发生位移的自由式单元,故称为自由式单元的单刚。

式(9—6) 则为两端无线位移单元的单刚。 不考虑单元轴向变形,即不计杆端轴向位移对杆端力的影响时,轴向力不 能由单元刚度方程求得,由图 9—3b、c、e、f 四种情况叠加,推得受弯直杆忽 略轴向变形单元的单刚为 式(8.

1)也可由自由式单元单刚同时删去第一、四行及第一、四列获得。注 意到位移法中等截面直杆的转角位移方程也忽略轴向变形,故式(8.

1)与教材式 (5—3)、(5—4)的系数矩阵相同(只是杆端位移及杆端力正负号的规定有所不 同)。 当只考虑轴向杆端位移和杆端力(如桁架单元)时,由图 9—3a、d 可得只考 虑轴向变形的轴力单元单刚为 式(8.

2)也可从自由式单元的单刚同时删去第二、三、五、六行及第二、三、 五、六列得到。上述单刚同样具有自由式单元单刚的两个重要性质。 (5)单刚形式与杆端位移(杆端力)分量的排列顺序密切相关,若调换某两个 杆端位移(杆端力)的顺序,则单刚中元素的位置也会相应改变,读者务必注意。

2.结构坐标系下的单刚 (1)结构坐标系又称整体坐标系。 一般情况下, 由于结构杆轴方向各不相同, 故各单元的单元坐标系也不统一。

如教材图 9—9a 所示刚架三个单元的单元坐标 系均不相同(图 9—9b),造成汇交同一结点不同单元的杆端位移和杆端力方向不 一致,不便考虑结点的变形协调条件和静力平衡条件。为解决这一矛盾,只有通 过坐标变换把所有用单元坐标系表示的杆端位移和杆端力, 统一转换到按右手螺 旋法则确定的 Oxy 结构坐标系才便于求解。

单元的杆端位移和杆端力是客观存在 的,坐标变换只是用不同的分量来表示而已,如同一个力总可以分解为若干组不 同的分力一样。

(三)直接刚度法(先处理)的解题要点 应用直接刚度法时,按支承条件的处理方式分为先处理和后处理两种。先 处理方式是本章重点,读者应全面掌握。前面介绍过的矩阵位移法解题思路即属 先处理,其具体做法是: (1)以结点独立位移为基本未知量,建立结点位移列向量△。

对结构位移依 次编号时应注意刚结点有 3 个、铰结点有 2 个结点位移,已约束的结点位移不再 编号。

忽略受弯杆件轴向变形(引用轴向刚度条件)时,该单元两端的轴向位移编 号相同。 (2)建立与结点独立位移相应的结点荷载列向量 FP(不包含位移被约束方向 的结点力)。单元承受非结点荷载时,应将其化为等效结点荷载计算。

(3)写出单元在结构坐标系下的单刚 Ke。根据变形协调和位移边界条件,利 用单元定位向量λ e 将单元的局部位移码换成整体位移码(换码)。将单刚元素按 整体位移码“对号入座”输送到结构刚度矩阵 K 的相应位置。

(4)对所有单元依次重复步骤(3), 再将结构刚度矩阵中同一位置的单刚元素 实行“同位相加” ,最终形成结构刚度矩阵,其阶数与结点独立位移个数相同。 (5)求解结构刚度方程或由△=K-1F,计算结点独立位移列向量△。

(6)利用定位向量从△中取出相应的单元杆端位移,由各单元刚度方程分别 计算其杆端力。非结点荷载作用下的单元还要叠加单元固端力。 计算忽略杆件轴向变形的连续梁和刚架时, 先处理方式的解题思路与位移法 更为接近。本章在学习指导中按先处理介绍矩阵位移法的思路与步骤,正是由于 两者互通,便于对照。