换元法求导 浅谈换元法在求解某些高中数学问题中的应用

利用换元法解数学题的关键在于能否恰当地选择“新元”,然后再进行恰当的代换,找到较清晰的解题思路,能用来简化问题。使用换元法时必须注意新元的取值范围是否和旧元取值范围保持对应、换元时所受到的限制条件,还要注意根据题设环境检验结果。

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换元的目的是变换研究对象,将问题转换致新对象的知识背景中去研究。用一句话来概括换元法的作用就是“复杂结构简单化,混乱思路清晰化”。换元法从方法上可以分为:“以元代数”,“以元代元”和“以数代元”等。

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从思想上可以分为:“整体换元”、“三角换元”、“对称换元”、“均值换元”、“设差换元”等。换元法在高中数学范围内主要应用于四种问题,即不等式的证明问题,解方程问题,求函数最值问题和化简问题。

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下面将对这四种问题进行逐个分析。 一、换元法在不等式问题中的应用 不等式的证明有三大难点:切入点难找,可利用条件模糊,变形方向更是难以把握,利用换元法引入新元,有时可以有效地将分散条件整合,隐含条件再现,从而使问题也变的易于处理。

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以下是换元法在几种常见类型不等式问题的应用情况。 评:通过观察本题的结构特点,会发现左式两个分母:x,1-x与三角函数中的sin2x,1-sin2x的结构相似,因此本题采用三角换元法,将x换成sin2θ(以数代元)便可利用三角公式,将式子由分式结构转化成整式结构,简化解题难度.

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恒成立,求实数a的取值范围. 解:令,则原问题等价于不等式对x∈R恒成立,因为t 2=0时不成立,所以,即.

评:本题将不等式中的看成一个整体,用t代换,即用以元代数的方法去整体换元。这样可以排除干扰,将问题转化为我们最熟悉不过的一元二次不等式问题,从而使问题变的易于解决。 通过以上几个例子我们可以知道:在较为复杂的不等式证明中,有许多不等式在利用换元法变形之后,就可以使分散条件整合,隐含条件显现,使问题变的易于处理。

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二、换元法在解方程中的应用 在高中数学中,方程问题是最常见的数学问题之一,其解题方法也较为简单明了。

然而一些特殊的方程用一般的方法却难以解决,比如一些高次方程,分式方程,对数方程等。这些方程的未知数较复杂,难以处理。而换元法的作用就是化繁为简,所以当使用换元法来解决某些解方程问题时,作用会很明显。

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以下几种类型的方程问题具有代表性。 例1.解方程:10logx xlogx=20. 解:令t=logx,则x=10t,所以原方程变为:10t2 10t2=20 所以10t2=10,t2=1,t=±1,即logx=±1, 所以x=10或,经检验,它们都是原方程的解.

评:此方程的未知量的形式较为复杂,涉及了与对数函数的混合情况,问题看似难以处理,但通过观察可以感觉到10logx与xlogx这两项之间肯定有着某种重要的联系,于是令t=logx,再经过简单变形后,方程结构变的相当简单!

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例2.解方程: 解:原方程可以变为: 评:形如的方程,易知令: ,原方程可变形为Ay2 By c=0.

这是一个关于y的一元二次方程.对于此题,将左式中的第一项通过完全平方公式简单变形后,即可变为上述形式的方程,再令 ,问题便转化为容易解决的一元二次方程的情况. 可以看出,用换元法解方程和用换元法证明不等式两种问题之间有着千丝万缕的联系,同样需要在设置一个新元后,使未知数降次,化整,使问题得以解决.

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另外,用换元法解方程时,应注意新变量的可取值范围与原变量的可取值范围要保持等价,这其实也就是用换元法解方程的等价性原则.

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忽视等价性原则是用换元法解方程时一个常见的错误,应加以注意. 三、换元法在求解函数最值问题中的应用 函数的最值问题最能体现出函数的特性,其在高考中也很常见。

问题的解决难以程度通常在于自变量的数学关系是否明朗,范围是否简单,对于自变量较为复杂的函数,其处理难度不小,这时若用换元法代入新元,有时会使新变量数量关系简洁化,范围也简单化,解题难度也大大降低!

在高中范围内,这种类型的问题如果需要使用换元法,三角换元和整体换元应为首选,请看下面几种具有代表性的例子。 例1.求函数的值域. 解:由1-x2≥0得函数定义域为-1≤x≤1,令x=sinθ,,则,因为则,,所以 评:本函数的定义域为[-1,1],联想到sinθ的取值范围也是[-1,1],于是令sinθ代换x.

注意应限定,这样就满足了新旧变量的范围之等价性,也使新变量的范围最简,从而使整个解题范围简洁流畅!

例2.已知f(x)的值域为,试求y=g(x)=f(x) 的最值. 解:设,由,所以,则有,由中可以解出代入g(x)中,在上为递增函数,故. 评:本题自变量x,即是g(x)的自变量,又是函数f(x)的自变量,所以函数g(x)是一个复合函数,其自变量处理起来较为复杂.

同时f(x)并没有被告知具体函数,问题也较为抽象,用常规方法肯定是难以处理的,这时用换元法是恰到好处.可令便很巧妙地将f(x)转化成单一变量,原式经过变形也成为了我们最熟悉的一次函数!

值得注意的是,利用换元法求解函数最值问题问题时,和用换元法解方程时一样应注意新变量的允许值和原变量的可取值范围保持对应或等价,另外,在引入新元后,要确保新变量的结构比原白案量要简洁明了,新变量的取值范围也要有规律可循!

四、换元法在求解化简问题中的应用 化简问题是中学数学中比较基础的问题,但在高考中经常会出现一些难度较大的题目,如式子中会出现高次幂和较为复杂的根式结构,通过使用换元法有时会起到降次等有效作用,使被化简式呈现“简单化,明朗化”的趋势.

例1.计算: 评:本题单从形式上讲,结构已经很明朗了,了解了换元思想后,应该不会再有同学去直接算了,令后,式子便会转化为我们非常熟悉的完全平方和可以因式分解的类型!

例2.化简: 评:此题一般同学拿到后首先想到的是分子有理化,但将会发现非常繁琐。如果采用换元法,令(以元代数),则会使式子中的根式结构部分变为适合于因式分解的情况,这时化简思路便清晰起来.

通过这些例题我们可以知道,运用换元法去解决化简问题时,应根据化简式中各个较为复杂部分的内部或外部之间的联系,先选好基本元,再通过乘法公式,因式分解,等价划归等思想方法进行变形,化简式中比较隐秘的特征和规律立刻显现出来.

所以用换元法去解决某些特殊的化简问题时,有时会起到柳暗花明的功效。不过值得注意的是,任何一种思想方法都是针对一种特殊的情况的,换元法也不例外。

所以有一些问题表面上可以用换元法来求解,但不要认为一定就可以行得通.如果行不通,就不要钻牛角尖,正确的处理方法是:一般方法与特殊方法相辅相成,因题而异,灵活处理!