换元法的作用 换元法的应用技巧

2017/5/18 19:07:59

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元法的作用 换元法的应用技巧

换元的方法主要有: (1)局部换元 。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。

换元法的作用 换元法的应用技巧

例如解不等式:4 2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 (2)三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

换元法的作用 换元法的应用技巧

如求函数y= 的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin α ,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x y =r (r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。 (3)均值换元,如遇到x y=S形式时,设x= t,y= -t等等。

换元法的作用 换元法的应用技巧

我们使用换元法时...换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。

换元法的作用 换元法的应用技巧

或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法主要有: (1)局部换元 。

换元法的作用 换元法的应用技巧

局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。 例如解不等式:4 2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

换元法的作用 换元法的应用技巧

(2)三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。 如求函数y= 的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin α ,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。

换元法的作用 换元法的应用技巧

为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x y =r (r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

换元法的作用 换元法的应用技巧

(3)均值换元,如遇到x y=S形式时,设x= t,y= -t等等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。展开

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