高数微积分 2014高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理 新人教A版

2017/5/26 13:15:35

[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题.2.考查简单定积分的求解.如2012年江西T11等.

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3.考查曲边梯形面积的求解.如2012年湖北T3,山东T15,上海T13等.4.与几何概型相结合考查.如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1.定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.

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(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

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②一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

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(3)定积分的基本性质①kf(x)dx=kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.

③f(x)dx=f(x)dx f(x)dx.[探究] 1.若积分变量为t,则f(x)dx与f(t)dt是否相等?提示:相等.2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.

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3.定积分[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么?提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.

2.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).

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[自测·牛刀小试]1.dx等于( )A.2ln2 B.-2ln2C.-ln2D.ln2解析:选D dx=lnx=ln4-ln2=ln2.

2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t 2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.B.C.D.解析:选A S=(t2-t 2)dt==.

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3.(教材习题改编)直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为________.解析:x2dx=x3=.答案:4.(教材改编题)dx=________.解析:由定积分的几何意义可知,dx表示单位圆x2 y2=1在第一象限内部分的面积,所以dx=π.

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答案:π5.由曲线y=,直线y=-x 所围成的封闭图形的面积为________.解析:作出图象如图所示.解方程组可得交点为A,B,所以阴影部分的面积,dx==-2ln2.

答案:-2ln2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分:(1)(x2 2x 1)dx;(2)(sinx-cosx)dx;(3)x(x 1)dx;(4)dx;(5)sin2dx.

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[自主解答] (1)(x2 2x 1)dx=x2dx 2xdx 1dx= x2 x=.(2)(sinx-cosx)dx=sinxdx-cosxdx=(-cosx)-sinx=2.

(3)x(x 1)dx=(x2 x)dx=x2dx xdx=x3 x2= =.(4)dx=e2xdx dx=e2x lnx=e4-e2 ln2-ln1=e4-e2 ln2.(5)sin2dx=dx=dx-cosxdx=x-sinx=-=.

———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.

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1.求下列定积分:(1)

x-1

dx;(2)dx.解:(1)

x-1

=故

x-1

dx=(1-x)dx (x-1)dx= = =1.(2)dx=

sinx-cosx

dx=(cosx-sinx)dx (sinx-cosx)dx=(sinx cosx) (-cosx-sinx)=-1 (-1 )=2-2.利用定积分的几何意义求定积分