微积分牛顿 微积分的历程:从牛顿到勒贝格(汇聚了十多位数学大师的杰作)

2017/5/26 13:17:32

20世纪杰出的数学家约翰·冯·诺伊曼(1903—1957)在论述微积分时写道:“微积分是现代数学取得的最高成就,对它的重要性怎样估计也是不会过分的。” 今天,在微积分出现3个多世纪之后,它依然值得我们这样赞美。

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微积分俨如一座桥梁,它使学生们通过它从基础性的初等数学走向富于挑战性的高等数学,并且面对令人眼花缭乱的转换,从有限量转向无限量,从离散性转向连续性,从肤浅的表象转向深刻的本质。所以,英语中通常在微积分一词calculus前面郑重地加上定冠词“the”,冯·诺伊曼在上述评价中就是这样做的。

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“the calculus”(微积分)这种称谓同“the law”(定律)相似,用“the”特指微积分是一个浩如烟海的、独立存在且令人敬畏的科目。

一如任何重要的智力探索过程,微积分有着五彩斑斓的发展史和光怪陆离的史前史。西西里岛锡拉丘兹城的阿基米德(大约公元前287—公元前212)曾用我们现在所知的一种最早的方法求出某些几何图形的面积、体积和表面积。

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在漫长的800余年后,法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)采用一种非常现代的方法确定了曲线的切线斜率和曲线下面区域的面积。他们以及其他许许多多著名的前辈数学家们把微积分推上了历史舞台。

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不过,这不是一本描写数学先驱们的书。不言而喻,微积分在很大程度上应归功于以往的数学家,恰如现代艺术在很大程度上应归功于过去的艺术家一样。但是,一座专题博物馆——例如现代艺术博物馆——并不需要用一间又一间陈列室去展览对后世有影响的前现代艺术作品。

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就是说,这样一种博物馆的展览可以从中期开始。所以,对于展示微积分创建的历程,我想也可以这样做。 因此,我将从17世纪的两位学者艾萨克·牛顿(1642—1721)和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646—1716)开始,正是他们两人促成了微积分的降生。

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莱布尼茨在1684年的一篇论文中率先发表了他的研究成果,文章的标题中包含一个拉丁词calculi(一种计算系统),这个词后来就用来指代这门新生的数学分支。

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第一本教科书在十几年之后面世,微积分(thecalculus)的名称在书中被确定下来。 其后几十年,其他几位数学家先承接了挑战。

在这些先驱者中,最杰出的人物当推雅各布·伯努利(1654—1705)和约翰·伯努利(1667—1748)兄弟二人,以及举世无双的莱昂哈德·欧拉(1707—1783)。在他们的研究成果中有成千上万的页面涉及最高品位的数学,研究范围扩展到包罗极限、导数、积分、无穷序列、无穷级数以及其他许许多多主题在内的各个方面。

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这个四处延伸的题材带有一个称为“分析学”的总标题。 由于复杂性的日益增加,有关基本逻辑的各种困难问题也接踵而至。

尽管微积分强大有力又具有实用价值,但是它建立在一种不牢靠的基础之上。这使数学家们认识到,需要按照欧几里得几何的模型,采用一种精确和严格的方式重建这门学科。这样一项紧迫的任务是由19世纪的分析学家奥古斯丁·路易·柯西(1789 1857)、格奥尔格·弗雷德里希·贝尔哈德·黎曼(1826—1866)、约瑟夫·刘维尔(1809—1852)和卡尔·魏尔斯特拉斯(1815—1897)完成的。

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这几位数学大师以前所未有的热忱工作着,他们不辞艰辛,确切地定义了所用的术语,并且一一证明了到那时为止被数学界毫无争议地接受的各种结果。 但是,一些问题的解决,推开了另外一些问题的大门——这是在科学发展中经常发生的事情。

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在19世纪下半叶,数学家们利用这些逻辑上严密的工具构造出大量奇特的反例,对它们的认识让分析学具有了空前的普遍性和抽象性。我们从格奥尔格·康托尔(1845—1918)的集合论以及后来的维托·沃尔泰拉(1860—1940)、勒内·贝尔(1874—1932)和亨利·勒贝格(1875—1941)等学者的成就中,可以明显看出这种趋势。

到20世纪初,分析学已经汇聚成包含无数概念、定义、定理和实例的一座宝库——并且发展为一种独具特色的思维方式,因此确立了它作为一个至高无上的数学体系的地位。

我们要从这座宝库中取出一批样品,目的是考察上面提到的那些数学家获得的成果,并且以一种忠实于原貌同时又让当今读者能够理解的方式展现出来。

我将探讨那些能够说明微积分在其形成年代的发展状况的定理,认识那些最卓越的天才创建者们。简言之,本书是一部翻开这段令人神往的历史的“重要定理”集。

为了达到这个目标,我仅限于介绍少数有代表性的数学家的工作。首先我要坦诚披露:对于人物的安排是由本人的鉴赏倾向决定的。本书收入像牛顿、柯西和魏尔斯特拉斯这样一些数学家,他们会出现在任何一本类似的书中。

选入另外一些数学家,如刘维尔,沃尔泰拉和贝尔等人,更多地是出于我个人的喜好。至于其他一些数学家,如高斯、波尔查诺和阿贝尔,他们则不在我的考虑之列。 同样,我讨论的某些定理是数学文献的所有读者都熟知的,尽管它们原有的证明对于不精通数学史的人而言是离奇的。

莱布尼茨1673年关于“莱布尼茨级数”几乎不被人们承认的推导,以及康托尔1874年关于连续统不可数性的鲜为人知的首次证明,就属于这种情况。另外一些定理虽然在数学上是司空见惯的,但是很少出现在现代教科书中——这里我所指的是像魏尔斯特拉斯构造的处处连续而无处可微的函数的结果,当他在1872年把这个结果提交给柏林科学院时引起了数学界的震惊。

至于我的某些选择,我承认,是十分怪异的。

例如书中包含欧拉对积分的估值,这不过是为了展现这位数学家在分析学方面的奇才。 书中的每一个结果,从牛顿的正弦级数的推导,到伽玛函数的表示,再到贝尔的分类定理,都处于所在时代的研究前沿。

总的说来,它们记录了分析学随着时间的演进过程,以及参与者们在风格上和实质上的变化。这种演进是引人瞩目的,因为可以将勒贝格1904年的一个定理同莱布尼茨1690年的一个定理之间的差别,比拟为现代文学同英国古典英雄史诗《贝奥武甫》之间的区别。

尽管如此,我仍然相信每个定理都显示出值得我们关注甚至赞美的独创性——这一点是至关重要的。 自然,打算凭借考察几个定理来刻画分析学的特征,犹如试图通过采集几点雨滴来描绘一场雷雨的特征,所表达的观念不可能全面。

为了担负这样一项任务,作者必须采纳某些恰当的限制作为准则。 我的准则之一是避免贪大求全,去写一部描写分析学发展进程的全面的历史书。无论如何,这是一项过于宏大的任务,何况已经出版了许多论述微积分发展的著作。

我所喜爱的一些书籍已在正文中明确提出,或者作为资料列入参考文献。 第二条准则是把多元微积分和复分析排除在外。这样做或许是一种令人遗憾的选择,不过我相信是正确的。

据此把这本书的内容被置于某种可以控制的范围内,从而增添叙述的连贯性。此种限制同时把对读者背景的要求降低到最低程度,因为一本只讨论一元实分析的书,能够理解它的读者将是最广泛的。

这就提出预备知识的问题。针对本书面对的读者,我写进许多技术细节,所以只要具备最基本的数学知识就能理解书中的定理。某些早期的结果要求读者有毅力看完不止一页的代数运算。至于后期的某些结果则需要纯粹抽象的判别能力。

一般而言,我不会对数学上缺乏勇气的人推荐此书。 同时,为力求达到简明扼要,同一本标准的教科书不同,我采用比较随意的写法。我的本意是想让这本书对于那些或多或少具备大学数学程度的读者,或者那些没有被随处可见的积分或ε符号吓倒的读者来说,更容易接受。

我的目标是使预备知识刚好够用于理解所述主题,但是又不能再少。要是不这样做,将会使内容索然寡味,无法达到我的更大目标。 所以说这首先不是一本数学家的传记,也不是一部微积分的历史,更不是一册教科书。

事实上,尽管在书中我有时记述传记材料,有时探讨某个主题同另一个主题之间的联系的历史,而且有时也采用教科书的方式介绍新奇的(或者久已被遗忘的)概念,我仍要指出这一点。

不过我最初的动机是很简单的:同读者分享分析学的丰富历史中为人们喜闻乐见的某些结果。 同时,这引起我作最后一点说明。 . 在多数学科中存在着一种传统,那就是研究卓越的先驱们的主要著作,那些先驱乃是学科领域中被称为“大师”的杰出人物。

学文学的学生要拜读诗人和剧作家莎士比亚的作品;习音乐的学生需聆听作曲家巴赫的乐曲。然而在数学界,如果说这样一种传统不是完全没有的话,那么至少也是非常罕见的。

本书是想使这种局面得以改观。不过我不打算把它写成一部微积分的历史,而必须把它作为展示微积分宏伟画卷的陈列室。 为了这一目的,我汇集了若干杰作,只不过它们不是绘画大师伦勃明或者凡高创作的油画,而是欧拉或者黎曼证明的定理。

这样一座陈列 室或许有一些独特之处,但是它的目标同一切有价值的博物馆一样:成为一座优异的知识宝库。 像任何陈列室一样,这座陈列室的藏品中仍然存在空白。也像任何陈列室一样,这座陈列室不可能为人们希望展出的所有收藏品提供足够的空间。

虽说有这些局限性,但是当一位参观者离去时,他必然会对天才人物们充满感激之情。同时,那些徜徉于展品之间的人们将从最终的分析学中体验到数学中最深奥的想象力。