组合数学与数论 组合数学教学的认识与实践

2017/5/29 19:21:56

组合数学和离散数学是计算机科学与技术学科的最重要的数学基础.根据组合数学课程的特点,通过对教材内容的不断研究,并结合多年的科研和教学实践,给出一些组合数学课程的教学思路、方法和措施。 教学工作是一项常讲常新、永无止境的富有挑战性的工作.

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组合数学的教学工作也是如此.以离散数学和组合数学为代表的可构造性数学是计算机科学与技术学科的最重要的数学基础。 因此,教授好组合数学,使学生能够在课堂上就消化、吸收课程的主要内容,具有十分重要的现实意义.

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无论是教师对组合数学课程的讲授、还是学生对组合数学内容的理解和课后做练习,均需要比较高的数学技巧.本文根据组合数学课程的特点,通过对教材内容的不断研究,并结合笔者多年从事组合数学和组合算法研究。

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以及讲授组合数学课程的教学实践经验,给出若干组合数学课程的教学思路、方法和措施,以供参考。 学生学习兴趣的激发组合数学是一个古老而又年轻的数学分支.说它古老,可以追溯到公元前2200年中国的大禹治水时代;说它年轻,是因为在出现计算机和计算机技术之后,它才真正开始得到迅速发展.

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计算机技术对人类社会的影响在不断扩大,给组合数学注入了新的活力.计算机运算速度的持续增加和高性能并行分布计算技术的应用,使得计算机已经可以解决以前不可能解决的复杂的问题.

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许多大规模、复杂的问题的求解往往需要借助于组合数学和组合算法。 组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面.

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现代数学可以分为两大类:一是研究连续对象的数学(如分析、方程等);另一类就是研究离散对象的组合数学.组合数学在计算机科学、人工智能、信息论、运筹学和规划论等许多学科有着重要的应用.另一方面,组合学问题在生活中也随处可见.

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例如,在玩扑克牌游戏中,计算满堂红牌的手数,以确定出现一手满堂红牌的几率等.可以说,组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中,组合数学的很多原理都有其实际应用的背景。 基于组合数学本身的这些与实际应用紧密联系的特点,在教学中,我们首先介绍组合数学的历史以及原理的有趣的应用背景,使学生能够从感性上有所认识,然后再进行数学推导,不仅能激发学习者的兴趣,使其变被动灌输式学习为自觉、自主学习,而且给学生留下深刻印象,提高了教学效果。

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启发式教学组合数学的基本原理大都比较浅显,但应用和求解却并非如此.其例题和习题经常是所用原理简单,但是求解技巧性却很强。 考察如下例子:例1 1到1 000 000的所有自然数中0总共出现了多少次? 这道题目看起来很简单,所用原理也就是解决计数问题时常用的一对应原理,但是解题的关键建立哪两个集合之间的对应却并不容易.

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在通常情况下,学生的第一想法就是分别求1位数、2位数、3位数、4位数、5位数、6位数、7位数中0出现的次数,利用加法原理求解.

这个方法容易想,也是能够得到最后结果的,但是对于位数更多的自然数来说,采用这种方法求解就非常麻烦。 如果直接讲解采用一对应原理的解法,学生可能不容易接受.

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此时,可以采取启发式教学方法,提出一个个问题:"是不是每个1到999自然数都可以看成是6位数?""这样的6位数一共有多少个?""在这些6位数中,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}这10个数字出现的次数是否相同?"在有了这些问题的引导以后,"0在这些六位数中出现多少次?"这个问题就容易回答了.

采用这种启发式教学方法,不仅可以调动学习者的学习积极性,留给学生更多的自己思考问题空间、时间,引导学生一步步往既定的方向思考,而且这样学到的求解方法和技巧更易接受,理解更加深刻.

采用这种教学方法培养了学生求新、求异的意识,从而逐步发掘和培养学生的创新潜力和能力。

一题多解的教学方法组合数学和其他数学课程一样,例题在教学中的重要作用不可忽视.在讲解原理之后,选择一些恰当的例题并实施一题多解教学方法,可以帮助学生加深对组合数学原理的理解,拓宽学生求解问题的思路以达到对所学知识的融会贯通,最终掌握相应原理的运用。

例2 某广场有6个入口处,每个入口处每次只能通过1辆汽车.有9辆汽车要开进广场,试问有多少种入场的方案? 要求解这道题,可以应用乘法法则,或者使用解决球占位问题中的隔墙法,也可以将其转化成多重集合的排列问题求解.

通过这些不同求解方法的讲授,学生可以从中体会各种解题方法的妙处,同时加深了对所学知识的理解和应用,从而拓宽思路,以求触类旁通。

课前预习与课后练习在长期的学科发展过程中,组合分析形成了自己独特的一些原理,如计数原理、容斥原理、抽屉原理等;也形成了一些较系统和成熟的传统方法(如递推法、母函数法等),尤其是在解决各种比较困难的组合问题中,创造了不少新颖灵活的技巧方法(如设置隔墙法、折线法、反演技巧等).

这些技巧构思奇特、别具匠心,是前人智慧的结晶,它们使得许多看来很复杂的组合问题迎刃而解。 在教学过程中,有学生说:上课听得懂,但是课后自己又看不懂,并且做练习时也没什么思路.

仔细分析起来,这主要是学生对基本原理的理解不够深刻,方法运用不够熟练造成的.由于组合数学的技巧性很强,基本原理看似已经理解,但是应用起来要想达到得心应手,还需要下一番功夫.

因此,我们一再强调并要求学生在上课之前进行预习,这样在听课时可以做到注意力集中;同时在课后及时复习并且做一定数量的练习题,巩固所学到的知识.实践结果表明这种措施十分有效。 教师自身素质的提高高校中科研与教学两种活动是紧密相连、互相促进的.

科学研究的成果总结概括成为各种知识体系,形成各个学科专业的教学内容.从这个意义上讲,科研是"源",教学是"流";教学是科研的基础,科研是教学的发展与提高.

随着科技进步的不断发展,各学科的知识更新加快。 因此,要想教授好一门课程,就必须"跟踪"学科发展,及时掌握学科最新发展动向,了解本学科的发展趋势,更新讲课内容,以开拓学生得视野,从而提高教学水平.同时,教师将科研成果及时地转移到教学中来,使得教学内容更具先进性、科学性和思想性。