数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

2017/5/30 22:21:10

高考数学解题思想:特殊与一般的思想 由特殊到一般,再由一般到特殊,这种反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一,对数学而言,这就是我们常说的特殊与一般的数学思想。用这种思想解选择题有时特别有效,这是因为一个命题在普遍意义上成立时,在其特殊情况下也必然成立,根据这一点,我们可以直接确定选择题中的正确选项。

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

不仅如此,用这种思想方法去探求主观题的求解策略,也同样精彩。 例10某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()。 A.

y=[■] B.y=[■] C.y=[■] D.y=[■] 分析:将班级人数用具体数据替代,即可得出正确结论。 解:当班级人数x=36时,可推选代表人数y=3,排除CD;当班级人数x=37时,可推选代表人数y=4,排除A;选B。

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

例11设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量■=(mx,y 1),向量■=(x,y-1),■⊥■,动点M(x,y)的轨迹为E。 (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知m=■,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程。

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

分析:(1)不难求得轨迹E的方程为mx2 y2=1。

(讨论略) (2)问题的关键是确定一个圆心在原点的圆,即求出圆的半径R,使得该圆的任意一条切线与曲线E交于A,B,且OA⊥OB,如何求出圆的半径呢?从特殊位置入手是处理这类问题的有效方法。 解:(2)当m=■时,曲线E的方程为x2 4y2=4,取切线l:x=R, 由x=Rx2 4y2=4?圳x=Ry=±■,所以A(R,■),B(R,-■) 又OA⊥OB,所以■·■=0?圳R2=■。

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

下面只要证明圆x2 y2=■的任意一条切线都与椭圆相交于不同两点,且OA⊥OB。

(i)当圆x2 y2=■的一条切线的斜率存在时,可设其方程为y=kx t,则■=■?圳t■=■(k■ 1),由方程组y=kx tx2 4y2=4得x2 4(kx t)2=4,即,(1 4k2)x2 8ktx 4t2-4=0 则Δ=64k2t2-16(1 4k2)(t2-1)=16(4k2-t2 1)=■(16k2 1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1x2 y1y1=x1x2 (kx1 t)(kx2 t)=(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2=(1 k2)·■ kt·■ t2=■=0,所以OA⊥OB; (ii)当切线的斜率不存在时,切线为x=±■■,与■ y2=1交于点(■■,±■■)或(-■■,±■■)也满足OA⊥OB。

数学思想的题 高考数学解题思想之特殊与一般的思想

综上,存在圆心在原点的圆x■2 y2=■,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且■⊥■。