小学数学思想方法渗透 初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析

2017/5/30 22:36:42

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的一种结果.它是数学中处理问题的基本观点,是对数学基础知识与基本方法本质的概括,是创造性地发展数学的指导方针。数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象概括水平,后者比前者更具体更丰富,而前者比后者更本质更深刻。

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数学方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。数学思想和数学方法两者既统一又有区别。

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例如.在初中代数中,解多元方程组,用的是“消元法”;解高次方程,用的是“降次法”;解双二次方程.用的是“替换法”。这里的“消元”、“降次”、“替换”都是具体的数学方法,但它们不是数学思想,这三种方法共同体现出“转化”这一数学思想,即把复杂问题转化为简单问题的思想。

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具体的数学方法,不能冠以“思想”二字。如“配方法”,就不能称为数学思想.它的实质是恒等变形,体现了“变换”的数学思想。然而,每一种数学方法.

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都体现了一定的数学思想;每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来,这里的手段就是数学方法。也就是说,数学思想是理性认识.是相关的数学方法的精神实质和理论依据。数学方法是指向实践的.

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是工具性的,是实施有关思想的技术手段。因此.人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念—数学思想方法。一般来说,数学思想方法具有三个层次:低层次的数学思想方法(如消元法、换元法、代人法等),较高层次的数学思想方法(如分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等),高层次的数学思想方法(如转化、分类、数形结合等)。

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较低层次的数学思想方法经抽象概括可上升为较高层次的数学思想方法,各层次间没有明确的界限。

二、为什么要研究初中数学思想方法

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1.教学本身的需要初中数学教材体系包括两条主线。其一是数学知识,这是编写教材的一条明线;其二是数学思想方法,这是编写教材的指导思想,它是大都不能明确写进教材的一条暗线。前者容易理解,后者不易看明;前者是教材写什么,后者则明确为什么要这样写;只有理解后者才能真正从整体上、本质上理解教材。

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《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲》明确指出:“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。

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”这就要求我们在数学知识教学的同时,必须注意数学思想方法的有机渗透和统帅作用。只有这样.才能有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学知识结构,促进学生数学能力的发展,推动学生思维一般品质乃至整个素质的全面提高。

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2.数学发展的需要翻开数学史,从算术到代数,从常量数学到变量数学,从偶然数学到必然数学,从“明晰”数学到“模糊”数学,以及从手工证明到机器证明等,历史上的这几次重大转折,首先是数学思想方法的转变,这种转变还表明了数学的发展不仅是量的发展.

还有质的飞跃,随着数学的发展,数学思想方法日益丰富。如果说历史上是数学思想方法推进了数学科学,那么在数学教学中,就是数学思想方法在传导着数学的精神,在塑造着人的灵魂,在对一代人的数学素质实施着深刻、稳定而持久的影响。

3.国民素质的需要当今世界,青少年只有具备很强的适应能力,才能参与社会竞争。对数学来说,就是具备运用所学基础知识解决实际问题的能力,根据需要去自学新知识的能力。因此,数学思想方法的培养比只教会学生几个数学公式更为重要,它将使学生获得自学数学、发展数学的本领,获得把数学思想方法迁移为解决其它问题的能力.

从而形成更什的智能结构.让学生终生受益。正如德闰学者冯?劳厄说的:“教育尤非是一切学过的东西都忘掉时所剩下的东西。”这种使人终身受用的东西.数学教学中指数学思想方法有资料表明.我国的中学生毕业后直接用到的数学知识并不多,更多的是受到数学思想方法的熏陶与启迪

4.教学改革的需要当前数学教学中,过于强调对定义、定理、法则、公式的灌输与记忆,不注意这些概念、知识的发生、发展、应用过程的揭示与解释,不善于将这一过程中丰富的思想方法进行抽象和概括,存在着“掐头去尾烧中段”的状况,即使有应用过程.

也只是在解题过程中.强调对问题一招一式、一题-解、一法一题的个别解决,定势套路的总结,而轻视思路分析.忽视解题的思维过程,不能将具体的知识和个别的数学方法上升到数学思想的高度.揭示方法的实质和规律,长此以往,严重阻碍r学生创造力的培养和发展,而数学思想方法的教学是把传统的知识型教学转化为能力型教学的关键,是培养创造性人才的良好手段和渠道。

三、初中数学思想方法主要有哪些

根据“大纲’‘精神,初中数学的基本思想主要指转化、分类、数形结合等基本方法主要指待定系数法、消儿法、配方法、换元法、图象法等由于数学方法在教材中大都有具体陈述,而数学思想却是隐含在知识系统之中.这为强化数学思想方法带来了一定困难_为此.

下面谈谈转化、分类讨论、数形结合等在初中数学中的表现「〕1.转化思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式转化思想是数学思想方法的核心,其它数学思想方法都是转化的手段或策略)初中数学中运用转化思想具体表现在以下三个方面:(l)把新问题转化为原来研究过的问题如有理数减法转化为加法,除法转化为乘法等(助把复杂的问题转化为简单的问题(,新问题用已有的方法不能或难以解决时,建立新的研究方式如引进负数,建立数轴;变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程,等等。

‘2.分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象,为了研究的需要.根据对象本质属性的相同点和差异性,将对象区分为不同种类,通过研究各类对象的性质,从而认识整体的性质的思想方式。

在分类讨论中要注意标准的同一性.即划分始终是同一个标准、这个标准必须是科学合理的;分域的互斥性.即所分成的各类既要互不包含.

义要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性,有的问题分类后还可在每,类中丙继续分类。运用分类讨论思想指导数学教学,有利于学生归纳、总结所学的数学知识,使之系统化、条理化.并逐步形成一个完整的知识结构网络,这有利于学生严密、清晰、合理地探索解题思路,提高数学思维能力。

在初中数学中需要分类讨沦的问题主要表现个方而:(扮有的数学概念、定理的论证包含多种情况.这类问题需要分类讨论。

如平面儿何中二角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、圆幂定理、弦切角定理等的证明,都涉及到分类i寸论(约解含字毋参数或绝对值符号的为一程、不等式、讨论算术根、正比例和反比例的数中二次项系数、,与图象的开L:]方向等,由于这些参数的取位不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果.

这类问题需要分类讨论(3)有的数学问题.虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同.这类问题也要分类讨论3一效形结合思想所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来.从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。

华罗庚说过:“数缺形时不直观,形少数时难人微”有些数最关系.借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化,而图形的一些性质.借助于数量的计算和分析.得以严谨化。在初中阶段,数形结合的“形”可以是数轴、函数的图象和几何图形等等.

它们都具有形象化的特点数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面;(l)以形助数,帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法;运用函数图象的性质讨沦一元三次方程的根以及讨论一7乙一次小等式等等(2)以数助形,帮助学生简化解题方法。

初中数学中还渗透了类比、归纳、联想等数学思想方法这些思想力一法之间,是相互渗透、互相促进的,在数学教学中要有机地结合起来

四、如何加强初中数学思想方法的渗透

1.把握数学思想方法的层次性根据‘.大纲”精神.在初中要求‘’了解”的数学思想有转化、分类讨论、数形结合、类比等要求“了解”的方法有分类法、类比垮、反证法;要求‘理解”或“会应用”的方法有待定系数法、消兀法、降次法、配方法、换元法、图象法。这吸“了解”、“理解”、“会运用”是教学要求的具体尺子.随便提高或降低都会给这一基础知识的教学带来灾难

2.加强知识的发生过程.适时渗透数学思想方法莱布尼兹有一句名言:“没有什」么比看到发明的源泉(过程)比发明本身吏重要了”。数学教学不应是数学活动结果的教学.而应是数学活动〔思维活动)过程的教学数学知识的发生过程.

实际上也是数学思想方法的发生过程。我们在教学中不仅要告诉学且有哪些数学思想和力一法.它们各有什么用.而且更重要的是向学生展现概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的被发现过程、思路的探索过程、规律的被揭示过程等。否则学生遇到新问题时,尽管头脑中也知道要在数学思想方法的指导下解决,但仍然不知从何处人手

3.既要突出重点.又要逐步渗透在教学过程的不同阶段,对数学思想方法的教学的侧重点应有所不同。在低年级介绍较低层次,在高年级介绍较高层次;新授课阶段介绍低层次的,复习巩固阶段介绍较高层次的。下面以二元一次方程组的解法的教学为例加以说明:开始讲代入消元法和加减消元法,让学生明确两者虽然不同,但作用却是一致的—都把二元一次方程组化为一元一次方程,两者统一称为消元法。

消元的思想是解二元一次方程组的基本思想;在复习阶段则让学生理解消元思想实施的结果是化二元为一元,即化繁为简、化陌生为熟悉,为彻底解决问题铺平道路,从而把消元的思想上升为化简和转化的高层次的数学思想。

4.努力做到掌握数学方法和渗透数学思想的有机结合数学教学本身就是思维活动过程的教学,引导学生把握数学方法,按照思维活动的规律,渗透合理的数学思想,才能提高和发展学生的思维能力。具体可从两个方面人手:一方面,通过数学思想的渗透,启发、帮助学生发现和认识教科书中阐述的数学方法,使得数学不只是单纯的灌输,而是使这些方法成为分析问题和解决问题的有力工具,做到自然而然地掌握和运用;另一方面,通过对数学方法的掌握,进一步了解隐含于其中的数学思想,认识到具体事物的本质,从而逐步掌握科学的思想方法。

以上这两个方面的交替发展,还可以从新旧知识的联系,转化、发展等方面引发学生的思维活动,使未知问题转化为已知问题而得到解决。

这就要求教学过程中必须根据问题的具体情况及时创设思维情境,如暗示、引导、分析、揭示等,这些方法会使学生的思维豁然开朗,留下深刻的印象,并且饶有趣味。例如,计算有理数乘除混合运算时,把除以a变为乘以l/a,使两种运算转化为一种运算,这是多种运算向统一运算转化的体现。

在二元、三元一次方程组的解法教学中,消元的思想就成为转化的指导思想,而代入法、加减法是这一指导思想产生的必然方法。当然.加强初中数学思想方法的渗透,并不是靠对几个范例的分析就能解决的,而要靠在整个教学过程中站在方法论的高度讲出学生在课本里的字里行间看不出的奇珍异宝。