余弦定理角度 高三正余弦定理解三角

2017/6/1 15:03:28

ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB.(2012·镇江统考)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a且=那么A=________.

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解析 由==得=即=所以A=答案 (2012·南京市学情调研)在△ABC中角AC所对的边分别为a且满足cinA=a则角C=________.

解析 由c=a和正弦定理得=即=1.又C∈(0),所以C=答案 在△ABC中若2=a b2 c则△ABC的形状是________.解析 由2=a b c b-c=2ab相加得a b=2ab.又a b所以≥1,从而=1且a=b=时等号成立所以△ABC是等边三角形.

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答案 等边三角形(2012·苏北四市检测)在△ABC中已知BC=1=的面积为则AC的长为________.解析 由于△ABC的面积S===所以AB=4.

由余弦定理得AC=1 16-2×1×4×=13所以AC=即AC的长为答案 (2012·南京模拟)在△ABC中角A所对的边分别为a =则角A的大小为________.解析 1 =(A B)=2因为所以==答案 在△ABC中=2=,求B.

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解 由正弦定理得=====已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时在求得一内角的正弦值后需要根据已知两边的大小关系确定该内角的值.这一考一 利用正弦定理求解三角形【例1】(2012·镇江市期末考试)在△ABC中角A的对边分别为a满足b =a.

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(1)求角B;(2)若a成等比数列判断△ABC的形状.解 (1)由正弦定理得 =而=(B C)= 故=在△ABC中故=因为0<B<所以B=(2)由b=ac及正弦定理得===又A C=-A=所以= =n2A =所以-=2即=1.

又0<A<所以2A-==从而C=故△ABC是等边三角形.

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[方法总结](1)已知两角一边可求第三角解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角解三角形时利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角这是解题的难点应引起注意.(3)综合性问题可以选用正弦定理也可能用余弦定理.

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本小题中的两小题都可以选用余弦定理且第(2)小题选用余弦定理更为方便.【训练1】(2012·扬州调研一)已知f(x)=-(1)求f(x)在[0]上的最小值;(2)已知a分别为△ABC内角A的对边=5=且f(B)=1求边a的长.

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解 (1)f(x)=-= =,∵≤x ,∴当x=时(x)min=-(2)∵x =2k 时f(x)=1是三角形内角===由正弦定理有==8.

考二 利用余弦定理求解三角形【例2】在ABC中分别是角A的对边且=-(1)求角B的大小;(2)若b= c=4求△ABC的面积.解 (1)由余弦定理知:=cosC=将上式代入=-得:=-整理得:a c-b=-ac.

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==-=-∵B为三角形的内角=(2)将b=c=4=代入b=a c-2ac得b=(a c)-2ac-2ac∴13=16-2ac=3.==[方法总结](1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的(2)熟练运用余弦定理及其推论同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

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【训练2】(2012·扬州中学调研)在△ABC中角A所对的边分别为a且c=a b-ab.

(1)若-=(1 ),求角B;(2)设m=(),n=(3),试求m·n的最大值.解 c=a b-ab所以==(0<C<),故C=(1)由-=(1 )得(A-B).因为-A-B<所以A-B=又因A B=所以B=(2)m·n=3 =-2 因