余弦定理例题 正、余弦定理的应用举例

2017/6/1 15:03:33

2.2.2正、余弦定理的应用举例(2) 知识梳理     2. 解斜三角形的应用问题,通常需根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解,其中建立数学模型的方法是我们的归宿,用数学手段来解决实际问题,是学习数学的根本目的。

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  3. 解题应根据已知合理选择正余弦定理,要求算法简洁、算式工整、计算准确。 典例剖析 题型一 正、余弦定理在几何中的应用 例1如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值 解:设∠POB=θ,四边形面积为y,则在△POC中,由余弦定理得: PC2=OP2 OC2-2OP•OCcosθ=5-4cosθ ∴y=S△OPC S△PCD= (5-4cosθ) =2sin(θ- ) ∴当θ- = 即θ= 时,ymax=2   评述:本题中余弦定理为表示△PCD的面积,从而为表示四边形OPDC面积提供了可能,可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要认识到这两个定理的重要性 另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ的构造及逆用,应予以重视  题型二  正、余弦定理在函数中的应用 例2 如图,有两条相交成 角的直线 、 ,交点是 ,甲、乙分别在 、 上, 起初甲离 点 千米,乙离 点 千米,后来两人同时用每小时 千米的速度,甲沿  方向,乙沿 方向步行, (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 的式子表示 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 解:(1)设甲、乙两人起初的位置是 、 ,   则             ,   ∴起初,两人的距离是 .

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(2)设甲、乙两人 小时后的位置分别是 ,   则 , ,   当 时, ; 当 时, ,   所以, . (3) ,   ∴当 时,即在第 分钟末, 最短。

答:在第 分钟末,两人的距离最短。 评析:(2)中,分0 t 和t> 两种情况进行讨论,但对两种情形的结果进行比较后发现,目标函数有统一的表达式,从而(3)中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。

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备选题  正、余弦定理的综合应用 例3 如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设MGA=( ) (1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2);表示为的函数, (2)求y= 的最大值与最小值。

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解析:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心, 所以   AG= ,MAG= ,由正弦定理  得 , 则S1= GM•GA•sin= 。

同理可求得S2= 。 (2)y= = =72(3 cot2) 因为 , 所以当= 或= 时,y取得最大值ymax=240,当= 时,y取得最小值ymin=216。

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再通过局部的换元,又将问题转化为我们熟知的函数 ,这些解题思维的拐点。

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点击双基 1.在△ABC中, ,则△ABC 的面积为 (    )  A.                B.

   C.   D. 1 解:S = =4sin10 sin50 sin70 =4cos20 cos40 cos80 =  = = = 答案:C