正玄余弦定理 正弦定理余弦定理

2017/6/1 15:03:39

nullnull1.2 正弦定理余弦定理 应用举例null1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量:距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.null实际应用问题中有关的名称、术语1.

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仰角、俯角、视角。(1).当视线在水平线上方时,视线与水平线所成角叫仰角。(2).当视线在水平线下方时,视线与水平线所成角叫俯角。(3).由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。(一般这两条视线过被观察物的两端点)水平线视线视线仰角俯角null2.

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方向角、方位角。(1).方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。(2).方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。

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点A在北偏东600,方位角600.点B在北偏西300,方位角3300.点C在南偏西450,方位角2250.点D在南偏东200,方位角1600.null3.水平距离、垂直距离、坡面距离。

水平距离垂直距离坡面距离坡度(坡度比) i: 垂直距离/水平距离坡角α: tanα=垂直距离/水平距离αnull要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?null方案一:构造直角三角形C若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷吗?null 如图,设A,B两点在河的两岸.

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需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米, 求A,B两点间的距离. BAC=45,题型分类 深度剖析题型一 与距离有关的问题null如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法。

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..AB..DC基线null 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离.

分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求解.null解 如图所示在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,AC=CD= km.

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在BCD中,BCD=45,BDC=75,CBD=60.在ABC中,由余弦定理,得null练习1 海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛 成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛间的距离是 。

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ACB解:应用正弦定理,C=45BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 null 我舰的追击速度为14n mile/hnull又在ABC中由正弦定理得:0.

6186B 38013’故我舰行的方向为北偏东11047’null 求距离问题要注意:(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.

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(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.

null AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法分析:由于建筑物的底部B是不可到达的,所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识,只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角,就可以计算出建筑物的高。

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所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。null解:选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。

由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h.那么,在ACD中,根据正弦定理可得例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 题型二 与高度有关的问题null练习1 如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分别是 ,CD间的距离是12m.

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已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。

图中给出了怎样的一个几何图形?已知什么,求什么?null分析:如图,因为AB=AA1 A1B,又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。答:烟囱的高为.null例2.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30,60,则塔高为多少米 解析 作出示意图如图, 由已知:在RtOAC中,OA=200,OAC=30,则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在RtABD中,AD= ,BAD=30, 则BD=ADtanBAD=null练习2 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=75,在塔底C处测得A处的俯角β=45。

已知铁塔BC部分的高为30m,求出山高CD.

分析:根据已知条件,应该设法计算出AB或AC的长解:在ABC中,BCA=90 β=1350, ABC=90-α=150, BAC=α-β=300, BAD=α=750.根据正弦定理,nullnull练习3 如图所示,测量河对岸的 塔高AB时,可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D,现测得 BCD=α,BDC=β,CD=x,并 在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.

解 在BCD中,CBD=π-α-βnull 解斜三角形应用题的一般步骤是:(1)准确理解题意,分清已知与所求;(2)依题意画出示意图;(3)分析与问题有关的三角形;(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案;(5)注意方程思想的运用;(6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

null它等于地球椭圆子午线上纬度1分(一度等于六十分,一圆周为360度)所对应的弧长。 1海里=1.852公里(千米) (中国标准) n mile:海里,航海上度量距离的单位。

没有统一符号null例1 如图,某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,测出该渔轮在方位角为45,距离为10n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105 的方向,以9n mile/h的速度向小岛靠拢.

我海军舰艇立即以21n mile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到0.1 ,时间精确到1min)方位角:指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角.

题型三 与角度有关的问题null解:设舰艇收到信号后x h在B处靠拢渔轮,则AB=21x,BC=9x,又AC=10, ACB=45 (180-105)=120.

由余弦定理,得:化简得:解得:x=2/3(h)=40(min)(负值舍去)null由正弦定理,得所以BAC21.8,方位角为45 21.8 =66.8 答:舰艇应沿着方位角66.

8 的方向航行,经过40min就可靠近渔轮.null练习:海中有岛A,已知A岛周围8海里内有暗礁,今有一货轮由西向东航行,望见A岛在北偏东75,航行20 海里后,见此岛在北偏东30,如货轮不改变航向继续前进,问有无触礁危险。

BCnull解:在ABC中ACB=120ABC=15由正弦定理得:无触礁危险null[例2].在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.

此时,走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 分析 如图所示,注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在ABC中求出BC, 再在BCD中求BCD.

null则有CD=10 t,BD=10t.在ABC中,AB= -1,AC=2,BAC=120, 由余弦定理,得BC2=AB2 AC2-2ABACcosBAC=( -1)2 22-2( -1)2cos 120=6,BC= , 即CBD=90 30=120,在BCD中,由正弦定理,得BCD=30.

即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船. 解:设缉私船用t h在D处追上走私船,null如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救.

甲船立即 前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西 .相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处营救(角度精确到1).练习2null例3null[例4] 如图所示,已知半圆的直径AB=2, 点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的 一个动点,以DC为边作等边PCD,且点D与 圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的 最大值.

题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用null解 设POB=θ,四边形面积为y,则在POC中,由余弦定理得PC2=OP2 OC2-2OPOCcos θ=5-4cos θ.

null1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个 平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法 感悟提高