高一数学余弦定理 高二数学《余弦定理》(必修5)

2017/6/1 15:04:43

《余弦定理》 例如:在△ABC中,已知边a,边b及角C,如何求边c呢? 如果角C是直角,那么可以用勾股定理求边c的长。如果角C不是直角,那么是否可以构造直角三角形来求边c的长呢? 如图,在△ABC中不论∠C是锐角还是钝角,都有AD=bsinC,BD=a-bcosC。

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在Rt△ADB中,运用勾股定理,得 c2=AD2 BD2=b2sin2C (a-bcosC)2   =a2 b2-2abcosC 同理可得: b2=a2 c2-2abcosB a2=b2 c2-2abcosA 余弦定理:     三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

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即: a2=b2 c2-2abcosA b2=a2 c2-2abcosB c2=a2 b2-2abcosC 可以用向量来研究这个问题。 还可以用解析法来证明余弦定理: 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立坐标系: 则A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA)

BC

2=a2=(c-bcosA)2 (0-bsinA)2=b2 c2-2bccosA 应用1:求三角形中的边与角 例1:如图,在△ABC中,已知a=5,b=4,∠C=120°,求c。 例2:如图,△ABC的顶点为A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求∠A。

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例3:在△ABC中, (1)若sin2A=sin2B sin2C sinBsinC,求∠A。 (2)若sinA:sinB:sinC=(√3-1):(√3-1):10,求最大的内角。

应用2:证明恒等式或判断三角形的形状 例4:求证:在△ABC中,a=bcosC ccosB,b=ccosA acosC,c=acosB bcosA。 例5:在△ABC中,若b2sin2C c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状。

总结: 解三角形问题可以分为4种类型。已知两角与一边、两边与一边对角、两边与其夹角、三边,求其余边或角。 常用结论: (1)A B C=π (2)sin(A B)=sinC (3)cos(A B)=-cosC (4)sin(A B)/2=cosC/2 (5)a<><>

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